Le problème du mois

- Janvier 2008:
Un problème vous sera proposé chaque mois à cette page.
Les élèves ayant fourni une bonne réponse avant la fin du mois seront cités le mois suivant.
Alors si la célébrité vous tente, déposez vos réponses dans la boîte numéro 47.

- Décembre 2009:
Bien que le problème numéro 4 (avril 2008) n'ait jamais reçu de solution, je souhaite relancer cette rubrique avec un problème mensuel. Les réponses sont toujours à déposer dans la boîte numéro 47 (M. Brighi) avant la fin du mois.

Problème n°6 - Janvier 2010

A un congrès international arrivent mille délégués de divers pays. Chacun parle plusieurs langues. On sait que n'importe quel groupe de trois peut se comprendre sans l'aide des autres, l'un des trois servant éventuellement d'interprète aux deux autres.
Démontrer que l'on peut loger tous ces délégués dans des chambres à deux places, de sorte que deux personnes logeant dans la même chambre puissent communiquer entre elles.

Problème n°5 - Décembre 2009

On sait qu'un nombre premier est un entier naturel divisible par exactement deux entiers naturels (1 et lui-même). Les entiers supérieurs à 2, et qui ne sont pas premiers s'appellent des nombres composés. Ces définitions entraînent que 1 n'est ni premier, ni composé.
Vers 1750, Christian Goldbach émet la conjecture suivante :
" Tout nombre entier pair et supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers. "
Ce résultat n'a toujours pas été démontré ni contredit. Avant d'assurer votre avenir en démontrant la conjecture de Goldbach, je vous propose de résoudre la question suivante :
Quels sont les nombres premiers qui sont somme de deux nombres composés ?
- Toute réponse, même partielle ou sans justification est la bienvenue.
- Les élèves de TS spé math sont comminatoirement invités à répondre.
- Vous pouvez aussi répondre au problème numéro 4.
solution
les vainqueurs

Problème n°4 - Avril 2008

Un jeu est constitué de cubes en bois, tous de même dimension. Chaque face de chaque cube est peinte d'une couleur choisie dans une palette qui contient n différentes couleurs (n est un entier au moins égal à 1). Les cubes ainsi décorés sont tous différents. Déterminer le nombre maximal de ces cubes dans chacun des cas suivants :
1) n=2.
2) n=3.

Problème n°3 - Mars 2008

Archimède a peint un tableau dans lequel on voit un carré de 20 cm de côté. L'intérieur de ce carré est bicolore : les points plus proches du centre du carré que de son bord sont de couleur bleue ; les autres points sont de couleur rouge. Réalisez ce tableau.
solution
les vainqueurs

Problème n°2 - Février 2008

On dit qu'un nombre entier est somme de deux carrés, s'il peut s'écrire a²+b², où a et b sont eux-mêmes des nombres entiers. Par exemple, 13 est somme de deux carrés car 13=3²+2², alors que 7 n'est pas somme de deux carrés.
Certains entiers sont somme de deux carrés de deux façons différentes. Par exemple 50=5²+5² et 50=7²+1².
Quel est le plus petit nombre entier qui est somme de deux carrés de trois façons différentes ?
solution
les vainqueurs

Problème n°1 - Janvier 2008

Démontrer qu'au lycée Charlemagne, le nombre d'élèves ayant le même prénom qu'un nombre impair d'autres élèves est pair.
solution
les vainqueurs